Sistemas de representación I. Vistas diédricas.

"La Libertad guiando al pueblo", es una imagen de
desorden, violencia, y muerte, de la Revolución
Francesa, que Delacroix imaginó más de un
siglo después de que sucediera, por ejemplo, el
asalto de la Bastilla. Probablemente esta
imagen era más acertada que el mundo de
orden geométrico que imaginaron los
revolucionarios que vivieron
directamente los hechos.

Según se cuenta, René Descartes, que tenía una salud delicada y pasaba muchas horas en la cama, se quedó cierta vez mirando las paredes de su habitación, y le invadió un pensamiento que está en el origen de la Geometría Analítica.

Teniendo su vista perdida en el techo de su cuarto, fue una mosca a cruzarse en su mirada. La siguió un buen rato, mientras pensaba y se preguntaba si se podría determinar a cada instante la posición que tendría el insecto en el espacio. De ese modo llegó a la conclusión de que necesitaba un diedro, o lo que es lo mismo, dos superficies perpendiculares, en este caso la pared y el techo, que sirvieran de referencias constantes. Que el dibujo de la mosca no se podía realizar sólo en el vacío. De algún modo se necesitaba encerrar el mundo en una pequeña cajita de madera, con límites definido. Sólo era un truco, porque esa caja de madera podía crecer de tamaño infinitamente. Lo importante es que cualquier punto en el espacio podía determinarse trazando su distancia con respecto al techo y a la pared del diedro.

Desde hacía siglos, la representación en planta y alzado,
había sido común en muchos oficios técnicos. Pero sus
fundamentos proyectivos y geométricos nunca habían
sido sistemáticos. Por eso consideramos a Monge
la invención del sistema de diedros con el
que hoy en día nos manejamos, todavía,
en las ingenierías y arquitecturas. 

Pues bien, fue otro francés, Gaspard Monge, un ingeniero y artista amigo personal de Napoléon, en la resaca de la revolución, y en los albores de la Ilustración, quien inventó un sistema similar para trabajar la representación geométrica de las medidas de las cosas con total precisión. Su SISTEMA DE MEDIDAS también conocido como SISTEMA DIÉDRICO, se caracteriza también por determinar la posición de un punto con respecto a dos planos diédricos que se intersectan en el vacío, un PLANO VERTICAL y un PLANO HORIZONTAL. Y es a este sistema al que dedicaremos casi un trimestre entero. Pero antes de meternos en faena, me gustaría hacer una digresión que es muy habitual en mis clases, en relación al origen de las ciencias.

Sería ingenuo pensar que Monge ideó por sí sólo y desde la nada esta peculiar manera de dibujar, la geometría descriptiva, que, por lo demás, es muy racional y muy poco visual. Como sucede casi siempre en la aparición de nuevas ciencias, había un sustrato de técnicas eficientes en diferentes artes y oficios que ya hacían lo que proponía Monge, solo que de una manera poco organizada, sin sistema, con variaciones entre las maneras de hacer de unos y otros. Así como la química tuvo que afianzarse sobre el terreno escabroso de la alquimia, o la física tuvo que quitarse los lastres de conceptos aristotélicos animistas como el "ímpetu", así la geometría descriptiva tomó el recurso de algo que ya hacían los artistas del renacimiento, la proyección de un mismo objeto desde distintos puntos de vista. 

Aquí tenemos un plano del gran Palladio, y vemos que, en efecto, en la arquitectura, ya era muy común levantamientos de alzado y planta, incluso proyecciones auxiliares que concatenaban medidas reales del objeto en sus diversas proyecciones.

Y una imagen todavía más rara, la proyección planimétrica de una cabeza en el tratado de perspectiva de Piero della Francesca (ojo, que estamos hablando de un tratado elaborado hacia 1450, prácticamente trescientos años antes que Monge). 

Como tal, la proyección ortogonal en el sistema diédrico se ha venido usando en muchísimos ámbitos técnicos hasta nuestros días. Vemos abajo al arquitecto moderno Le Corbusier, delante de una pizarra donde ha dibujado un alzado de un edificio. Las razones del éxito de este tipo de dibujos son varias, y ya las había previsto el propio Gaspard: 

OBJETIVIDAD y REVERSIBILIDAD, son las características más cruciales.  

A menudo los artistas, técnicos e ingenieros, deben garantizar que sus dibujos puedan ser construidos, que de tales dibujos se puedan sacar puntos, magnitudes, toda la información suficiente para fabricar un objeto. De hecho, es más que probable que este tipo de dibujo surgiera originalmente en el tallado de esculturas o en las labores de canterías, habida cuenta de que tales artistas y artesanos solían dibujar sobre las caras del cubo los distintos cortes a practicar. Así lo podemos observar en el prisma que está cortando otro escultor moderno, Constantin Brancusi, un artista cuya obra estaba precisamente a camino entre la escultura y la cantería. 

 

La idea de Monge era proyectar varias vistas del objeto, o lo que es lo mismo, dibujar el objeto desde diferentes puntos de vista, para tener todos los detalles espaciales del mismo, aunque fuera de manera separada. De ahí que resulte más difícil visualizar las piezas en sus sistema que en los, así llamados, sistemas de perspectiva. 

En el sistema de Monge, la mayor de las veces bastarían dos vistas fundamentales, la PLANTA y el ALZADO, para hacerse una idea muy precisa del objeto. 

El diédrico es un sistema de representación basado en las proyecciones paralelas y ortogonales (los haces proyectivos son paralelos entre sí, y perpendiculares al plano de proyección). 

Al trabajar siempre con vistas múltiples, y con una proyección ortogonal, todas las partes del objeto se pueden observar fácilmente en verdadera magnitud, o lo que es lo mismo, con sus medidas reales. Y de ahí que a veces se hable de SISTEMA DE MEDIDAS, en oposición a los SISTEMAS DE PERSPECTIVA. En la planta se observarán habitualmente en verdadera magnitud la profundidad y el ancho, y en el alzado se observará en verdadera magnitud la altura y el ancho. En el perfil se podrá observar la profundidad y la altura. Es decir, en cada vista sólo se podrán observar dos dimensiones de las tres posibles. Cuando las líneas sean oblicuas, y no se observen en verdadera magnitud en ninguna vista concreta, se podrá deducir su verdadera magnitud al integrar las magnitudes que si son observables en cada vista.

1. ELEMENTOS DEL SISTEMA. 

Este sistema que nos ocupa esta vez, y que ya conocéis sólo de manera indirecta, consta de muy pocos elementos iniciales:

1. Dos planos perpendiculares entre sí: un plano horizontal PH, y otro vertical, PV.

2. La intersección de ambos planos es conocida como línea de tierra LT, y los espacios producidos por la intersección, son conocidos como CUADRANTES o DIEDROS (1º, 2º, 3º, y 4º).

3. Consideramos estos planos como opacos e ilimitados, considerando que el observador está situado en el primer diedro.

4. Un punto situado en cada uno de los cuadrantes queda determinado por su COTA o altura, con respecto a PH, y su ALEJAMIENTO, con respecto a PV. Además, se puede situar a derecha o izquierda con respecto a un punto de origen dado en la LT, y hablamos de DISTANCIA.

Tales coordenadas se suelen especificar con el siguiente orden DISTANCIA-ALEJAMIENTO-COTA, por ejemplo A (0,4,18).

5. Lo que observamos en un dibujo diédrico no son los puntos reales, sino sus proyecciones sobre los planos del sistema. Y tales proyecciones se muestran en el dibujo gracias al ABATIMIENTO de PV-PH. Que consiste en hacer caer el plano vertical hacia atrás (en el primer cuadrante), como si la línea de tierra fuera una bisagra, para hacerlo coincidir con el plano horizontal.

6. Otros elementos auxiliares del sistema sería los planos bisectores. Son dos planos que, al pasar por la línea de tierra, forman un ángulo de 45º con los diedros. Cuando un punto tiene por COTA y ALEJAMIENTO la misma distancia, significa que está en uno de los planos bisectores.


2. POSICIONES RELATIVAS DEL PUNTO. 

A) PRIMER CUADRANTE. COTA Y ALEJAMIENTO POSITIVOS.

B) PRIMER CUADRANTE. COTA CERO, Y ALEJAMIENTO POSITIVO.

C) PRIMER CUADRANTE. ALEJAMIENTO CERO Y COTA POSITIVA.

D) PUNTO EN LT. COTA CERO Y ALEJAMIENTO CERO.

E) PRIMER CUADRANTE. COTA Y ALEJAMIENTO IGUALES. PUNTO EN EL PRIMER PLANO BISECTOR.

El proceso de obtención de las vistas de un objeto, bien a partir del propio objeto o de su representación en perspectiva, no reviste especial complejidad, pero si requiere hábito y un cierto entrenamiento de la visión espacial. Por eso, antes de resolver piezas más complejas, os recomiendo que practiquéis un poco con diversas herramientas:

a) generador de piezas cúbicas.

b) ejercicios de vistas, nivel elemental.

c) ejercicios de vistas, nivel intermedio. 

d) modelado de piezas 0. 

e) modelado de piezas 1. 

f) modelado de piezas 2.

Otro compendio más de piezas habituales de PAU, que la profesora Ester Alonso ha elaborado con Geogebra.

https://www.geogebra.org/m/uFm4zDZT