Ej. 2. Geometría de regla y compás. Lectura II.

Dibujo de Leonardo

Ej. 2. Geometría de regla y compás. Lectura II.

"La restricción es inventiva al menos tantas veces como la superabundancia de las libertades puede serlo. No llegaré a decir con Joseph de Maistre que todo lo que incomoda al hombre le fortifica. Tal vez De Maistre no pensaba que hay zapatos demasiado estrechos. Pero, tratándose de las artes, me respondería, sin duda bastante bien, que los zapatos demasiado estrechos nos harían inventar nuevas danzas".

Paul Valéry, Teoría poética, 1957.


Recuerdo algún pasaje en sus miles de páginas de notas y ensayos, los de Valéry, que trata de la belleza de la geometría de los griegos "de compás y regla", en comparación con la geometría analítica moderna. Y ciertamente por eso escogí el epígrafe inicial que habla de los zapatos estrechos. Porque también encuentro en la geometría de compás, en la economía de medios materiales, un terreno preparado para despertar el rigor y el ingenio.

La expresión "geometría de regla y compás" es una expresión clásica que alude al dibujo geométrico de los griegos, o más bien, a lo que desearon y pretendieron hacer.

En la enciclopedia matemática de la UGR podemos leer una buena entrada sobre dicha expresión. Espero que os guste. Hasta mañana.

"Se dice con frecuencia que los geómetras, obedeciendo una norma tradicional atribuida a Platón, construían todas sus figuras planas ayudándose tan sólo de compás y regla (no graduada). Esto no es exacto. Los griegos se sirvieron de muchos otros instrumentos geométricos, entre ellos, de utensilios para trisecar ángulos. Mas, por otra parte, sí estaban convencidos de que las construcciones con regla y compás eran más elegantes que las conseguidas mediante otros instrumentos. La futilidad de sus tenaces esfuerzos por lograr métodos de este tipo en la trisección de ángulos, la cuadratura del círculo o la duplicación del cubo—los tres grandes problemas geométricos de antigüedad—no pudo ser demostrada durante cerca de 2.000 años. En siglos posteriores, los geómetras se entretuvieron en imponer restricciones todavía más enérgicas sobre los instrumentos utilizables en los problemas de construcción de figuras. El primer esfuerzo sistemático de esta naturaleza es un trabajo atribuido al matemático persa Abul Wefa, en el siglo X, donde se describen construcciones posibles con la regla y un compás «rígido», más tarde llamado, burlonamente, «compás oxidado». Se trata de un compás cuya apertura no puede modificarse. Los conocidos procedimientos para trazar la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo son ejemplos sencillos de construcciones con regla y compás rígido. Muchas de las soluciones de Abul Wefa—y, en particular, su método de construcción del pentágono regular conocido el lado—son extraordinariamente ingeniosas y muy difíciles de mejorar. Leonardo da Vinci y numerosos matemáticos renacentistas hicieron también algunos tanteos en la geometría de compás rígido, pero, en orden de importancia, el segundo tratado sobre el tema fue Compendis Euclidis Curiosi, folleto de autor anónimo, publicado en 1673, en Amsterdam. Fue traducido al inglés cuatro años más tarde, por Joseph Moxon, a la sazón hidrógrafo real en Inglaterra. Se sabe ahora que esta obrita fue escrita por un geómetra danés, Georg Mohr, con quien volveremos a tropezar dentro de un momento. En 1694, un agrimensor londinense, William Leybourn, en un extravagante libro llamado Pleasure with Profit, trató las construcciones de compás rígido como una forma de juego matemático. En el encabezamiento de su sección dedicada al tema escribió: «Mostrando como (sin compás), teniendo solamente un Tenedor Corriente (o una horquilla semejante, que no abriré ni cerraré), y una Regla Lisa, pueden realizarse muchas deliciosas y divertidas Operaciones Geométricas.» Ya en el siglo XIX, el matemático francés Jean Victor Poncelet sugirió una demostración, más tarde rigurosamente desarrollada por el suizo Jakob Steiner, de que todas las construcciones realizables con regla y compás ordinario son realizables también con regla y un compás rígido. Tal conclusión resulta inmediatamente de otro notable teorema de ambos, a saber: que toda construcción que sea factible con regla y compás es posible con solo la regla, una vez dada en el plano una circunferencia fija y su centro. A principios del siglo XX se demostró que ni siquiera hacía falta disponer de la totalidad de la circunferencia de Poncelet-Steiner. ¡Tan sólo se precisan un arco de esta circunferencia, por pequeño que sea, y su centro! (En las construcciones de este tipo se admite que un círculo ha quedado construido cuando se determinan su centro y un punto de su circunferencia.)

Muchos matemáticos de renombre habían estudiado qué construcciones son posibles con instrumentos tan sencillos como la regla sola, la recta provista de dos puntos marcados sobre ella, la regla de dos bordes rectos paralelos, la «regla» con dos bordes rectos perpendiculares (escuadra) o bajo otros ángulos, etc. Así las cosas, en 1794 el geómetra italiano Lorenzo Mascheroni dejó maravillado al mundo matemático al publicar su Geometria del Compasso, donde demostraba que toda construcción realizable con regla y compás puede efectuarse con exclusivamente un compás móvil. Como es imposible dibujar líneas rectas con sólo un compás, es preciso admitir que dos puntos, obtenidos por interseccion de arcos, definen una recta. Todavía hoy se llaman construcciones de Mascheroni a las realizadas exclusivamente con el compás, a pesar de que en 1928 se descubrió que Mohr había demostrado el mismo teorema en una oscura obrita, Euclides Danicus, publicada en 1672 en ediciones danesa y holandesa. Un estudiante danés dio con el libro en una librería de lance de Copenhague, y se lo mostró a su profesor, Johannes Hjelmslev, de la Universidad de Copenhague, quien inmediatamente comprendió la importancia del descubrimiento. Hjelmslev la publicó en edición facsímil, acompañada de una traducción al alemán, el mismo año de 1928.

Un famoso problema del libro de Mascheroni es el llamado «problema de Napoleón», porque se dice que Napoleón (v.) se lo propuso a Mascheroni. Existe un verdaderamente poco conocido pero alucinante teorema que dice que todo punto constructible mediante regla y compás puede ser obtenido también disponiendo de una coleccion ilimitada de mondadientes idénticos. Los palillos sirven para materializar segmentos rectilíneos rígidos e idénticos, libremente desplazables sobre el plano. Este curioso método de construcción fue inventado por T. R. Dawson, redactor jefe de Fairy Chess Review, y ha sido expuesto por él mismo en un artículo titulado «"Match-Stick" Geometry», en Mathernatics Gazette, Volumen 23, mayo de 1939, pp. 161-68. Dawson demuestra allí el teorema general antes citado, y demuestra también que será imposible construir mediante palillos puntos que no sean constructibles por regla y compás. Da métodos para hallar el punto medio de un segmento, la bisectriz de un ángulo, para trazar perpendiculares y paralelas a una recta por un punto dado, así como para otras construcciones suficientes para demostrar su tesis".