Ángulos de arcabucero, o el problema de ver mucho y al mismo tiempo no ver nada.

San Juan de Ulúa, fortaleza de principios del siglo XVI,
siguiendo el estilo de la traza, de origen italiano.

Dibujo de morteros y fortaleza de Leonardo.

El pasado viernes hice un examen con mis alumnos de bachillerato. Su inicio fue un tanto imprevisible. Antes de repartir fotocopias propuse un problema de equidistancia que debía resolver el grupo entero, al menos si querían ganarse 0,2 décimas adicionales a la nota individual de cada uno.

Lo resolvieron bien (y ha servido para redondear más de una nota). La solución consistía en formar una circunferencia perfecta con las mesas, y sentarse dentro de la misma, es decir, cada alumno dirigiendo su mirada en dirección opuesta al centro.

Algunos alumnos, pasado el trance del examen, y antes del descanso del recreo, me preguntaron por tan curiosa disposición. Habían intuido su razón geométrica, pero tampoco habían podido detenerse a pensar mucho en ese momento de nervios. Por otra parte, Beatriz, una compañera de claustro, y profesora de matemáticas,  entró en el aula justo en los minutos finales del examen. También le pareció una disposición ingeniosa.

Si resulta que ahora todos los profesores adoptan este método, ay, corianitos de Dios, de veras os pido disculpas por poneros un poco más la difícil tarea de economizar esfuerzos académicos. Pero ya lo decía Euclides, en la geometría "no hay camino de reyes".

Me sorprendería que nadie en ninguna parte hubiera adoptado este ordenamiento de los alumnos, habida cuenta de lo útil que resulta. En mi caso la idea está relacionada con mi consabido interés en la ciencia, el arte, y la técnica de los antiguos. Y en verdad tiene que ver con un dilema que durante siglos fue motivo de discordia para muchos ingenieros militares: cómo construir una muralla o una fortificación inexpugnable, con el mayor ángulo de visión para los tiradores propios, y con el menor ángulo de visión para los enemigos.

Así, sabemos que algunos ingenieros militares italianos y españoles defendían a pie juntillas las fortalezas circulares, o las triangulares, antes de que más o menos se formara un consenso en torno a las pentagonales, aunque a la postre algunos siguieran prefiriendo los cuadriláteros bien ubicados en un terreno abrupto, y otros, incluso, imaginaran formas cónicas. A esas mismas figuras, en los vértices, se le agregaban baluartes y rebellines (también revellines) que permitían corregir alguna debilidad en los ángulos propios de las figuras geométricas, como se puede apreciar en la fortaleza pentagonal que nosotros mismos hicimos en Acapulco, en el siglo XVII, para preservar la ciudad de los ataques piratas. Por supuesto, cada uno de esos planes de construcción llevaban asociados argumentos que defendían la opción propia en detrimento de la opción que defendían los ingenieros de escuelas rivales, y en dichas escuelas se debatían los puntos débiles y los fuertes de cada trazado. Me permito dejaros un enlace a un libro publicado en la Fundación Juanelo Turriano que aborda el asunto con más detenimiento.

Plano de otra fortaleza española en América.

Es por este motivo que me propuse la tarea inversa: que mis alumnos se organizaran de tal manera que tuvieran un mayor arco de visión inútil, o lo que es lo mismo, que ninguno pudiera mirar a su compañero con facilidad.

Explicaré por qué la circunferencia me parece una solución apropiada, si cada alumno se sitúa en el perímetro, y partimos de que nuestro ángulo de visión nunca sobrepasará eficazmente los 180º, si no se gira la cabeza de forma aparatosa. Si se piensa bien, el ángulo de visión del alumno siempre quedará determinado por una tangente a la circunferencia y, al menos en la teoría, nunca podrá enfocar con claridad un lugar cualquiera en el perímetro de la circunferencia (insisto que se trataría sólo de una situación teórica, porque siempre se puede hacer trampas). Las tangentes, perpendiculares a un radio cualquiera, sólo tocan a la circunferencia por un punto.

Se entenderá mejor con estos dos trazados realizados con Geogebra, y especialmente con el trazado móvil, que permite ver cómo, por mucho que se aproximen Julián y Pablo, nunca se sitúan como puntos colineales, salvo en una cuerda de la circunferencia que queda siempre a la espalda. Situándose cada uno fuera del ángulo de visión del otro, salvo en la más absurda de las proximidades.

Espero que esta aplicación "espontánea" de la geometría haya supuesto un contratiempo importante si alguno tenía planes de dudosa legitimidad académica o moral.

Nos vemos el martes y me llevo los exámenes corregidos. Disfrutad del fin de semana, están bastante bien, no desesperéis.