PITÁGORAS Y LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Edición Byrne de los Elementos de Euclides
con el "insecto alado" o "molino".

Veamos lo que sucede en ese conjunto de polígono que los antiguos asemejaron a un insecto alado. Es fácil reconocer que un cuadrado mayor levantado sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a los otros dos cuadrados levantados sobre los catetos de ese mismo triángulo.
Un poco de historia no viene mal:
El Teorema de Pitágoras es probablemente el teorema matemático más conocido. En realidad, la suerte de su fama no se debe a las aplicaciones prácticas que pudiera tener, sino a las innumerables demostraciones que se hicieron del mismo. Entre los escolásticos, la invención de nuevas demostraciones para ese teorema eran trámite para alcanzar el grado de Magister Matheseus. De modo que, con mucha diferencia, y desde muy temprano, se convirtió en el teorema matemático más demostrado de toda la historia. Elisha Scott Loomis hizo una compilación, publicada en 1940, The Pythagorean Proposition, que recogía en torno a 370 demostraciones distintas. Leonardo hizo una demostración dibujada, aunque curiosamente nunca fue un geómetra o un matemático muy fino, según el gran historiador de las matemáticas Jan Dijkterhuis. Por supuesto, Euclides demostró este teorema en el Libro I, sec. 47, de varias maneras, una de las cuales se da por hecho que procedía directamente de la secta pitagórica. Y también Papus encontró su demostración propia, entre otros muchos matemáticos, artistas geómetras, y simples aficionados. 
                

Pero basándonos en los dibujos de más abajo, realizado con Geogebra, entenderemos rápido que hay una lógica interna en el teorema que lo subdivide en dos teoremas auxiliares previos, y que son los que vamos a aprender:
1. El teorema del cateto. 

En todo triángulo rectángulo, al trazar la altura h desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, el triángulo queda dividido en otros dos triángulos triángulos semejantes (con mismos ángulos). Si tenemos triángulos semejantes, como cuando estudiábamos el teorema de Tales, podemos establecer razones de semejanza entre los tres triángulos de colores: el azul, más grande; el verde, más pequeño; el púrpura, mediano.
De manera que, hallamos la razón entre el mayor y el menor
 

y otra razón similar existiría entre los triángulos mayor y mediano

Es decir, este primer teorema nos dice que, en todo los triángulos rectángulos, un cateto elevado al cuadrado es igual a la hipotenusa por la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa (entendiendo por cada proyección el segmento que resulta de dividir la hipotenusa con el pie de su altura).

2. El teorema de la altura. 

No obstante, es fácil adivinar a partir de aquí que también se pueden establecer razones de semejanza utilizando la altura (que es un segmento compartido por los tres triángulos).

De manera que

Es decir, cada una de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa del triángulo mayor, multiplicadas son igual a la altura elevada al cuadrado.

3. El teorema de Pitágoras. 

Si retomamos las dos razones de semejanza iniciales, al sumarlas, establecemos la fórmula típica del teorema:

4. La media proporcional, según el teorema de la altura.

Según el teorema de Pitágoras, la altura del triángulo rectángulo será la media proporcional de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Cuando hablamos de la media proporcional o geométrica de un segmento, nos referimos a aquel segmento que elevado al cuadrado es igual al producto de otros dos segmentos:



Y si recordáis, en el tema anterior, vimos la posibilidad de calcular raíces cuadradas gráficamente mediante un arco capaz de 90º. Aplicábamos sin saberlo la media proporcional.

Existen dos maneras de hallar la media proporcional:

a) la media proporcional de a y b será la perpendicular
que corta al arco capaz de 90º

b) la media proporcional de a y b será el segmento c.

En el caso a)



La altura c es la media proporcional de a y b, proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Para calcular la altura a partir de dichas proyecciones sólo se necesita construir un arco capaz de 90º sobre la hipotenusa (suma de a y b).

En el caso b)



En este caso, conociendo la hipotenusa a, y la proyección sobre ella del cateto c, se podrá averiguar la magnitud de ese cateto, que será la media proporcional. La operación es parecida. Sobre la hipotenusa se lleva la proyección del cateto (como si quisiéramos hallar la diferencia). Por el extremo interior de la proyección del cateto se levanta la perpendicular. Esa perpendicular cortará en un punto al arco capaz de 90º construido sobre la hipotenusa a. Al unir dicho punto con el otro extremo de la proyección del cateto, se obtiene la media proporcional del segmento hipotenusa y el segmento proyección del cateto c, que es también la magnitud del cateto c.

Refuerzo y audiovisual. 

Por otra parte, si queréis tener la perspectiva de otra explicación distinta a la mía, el profesor Arturo lo explica bastante bien en su canal de youtube. Y de paso razona los ángulos interiores, resultantes de trazar la altura al triángulo inicial,  para establecer la semejanza de los triángulos rectángulos. También en el siguiente enlace podéis acceder a las explicaciones de la profesora Ester Alonso.