Los filósofos y la geometría euclidiana, parte II. Spinoza.
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| Detalle de un cuadro de Vermeer. Los espejos, las lentes, y los artilugios ópticos despertaron la curiosidad de los pintores, no menos que de los filósofos septentrionales de los siglos XVI y XVII. El estudio de la óptica recibió un gran impulso. Spinoza fabricaba lentes para ganarse la vida. Y no es raro por ello, dada la afinidad entre la óptica y la geometría, que Spinoza tomara también la geometría euclidiana como modelo deductivo de su tratado sobre la ética, publicado en 1677. |
Paul Valéry.
Propongo un problema de óptica, y más específicamente, de reflexión de haces de luz sobre un espejo plano:
Un rayo de luz con dirección d y que parte del punto A se refleja en el espejo e1. Posteriormente se refleja en el espejo e2, cuya posición se desconoce. Finalmente ilumina el punto B. Calcular cómo debe estar colocado el espejo e2, sabiendo que ambos espejos se cortan en O. Indica la trayectoria que sigue el rayo de luz.
Se resuelve por SIMETRÍA.
En efecto, en el caso de los espejos planos, y sólo los planos, el punto de reflexión de un objeto se encuentra por detrás del espejo y a la misma distancia que dicho objeto mantiene con la superficie del espejo. Tal vez el viernes lo verifiquemos empíricamente en clase, con dos espejos planos y una linterna. Y eso que lleváis ganado, porque me acaba de confirmar Sara que en Física, hasta el año que viene, no vais a tocar un sólo espejo, lente, o linterna.
Ahora traigo aquí este problema, de paso, para hablar de otro "filósofo geómetra", Baruj Spinoza. Vamos a tomarnos la amable libertad, que no irrespetuosa, de llamarlo Benito, que era como se traducía su nombre en las ediciones antiguas españolas, Benito Espinosa.
Por lo pronto os pido un poco de paciencia, ya encontraremos poco a poco la relación de Spinoza, la filosofía ética, las lupas y los espejos y, por supuesto, la geometría.
LA ÉTICA EUCLIDIANA.
En la tradición de las distintos tratados de filosofía moral que se habían escrito desde Aristóteles y su Ética para Nicómaco, Spinoza escribió el suyo propio, una Ética, en torno a 1677, que llevaba el inaudito sobretítulo: ...demostrada según el orden geométrico.
Como estoy seguro que Juan ya ha discutido con vosotros el significado de esa palabra, ética, entendida vulgarmente como el campo de saber que estudia las buenas y malas acciones, estoy también seguro que os sorprenderá tan extraña carambola: ¿qué demonios tiene que ver la ética con la geometría?
Pues, veamos, comparemos, de un lado, una página del tratado de Spinoza, y de otro lado, una página de nuestro más querido libro, los Elementos de Euclides.
Suena extraño a nuestros oídos las palabras del propio Benito intentando demostrar que la tristeza disminuye la "potencia en el obrar" de los hombres, en proporciones geométricas, o que, para demostrar que tal disminución o aumento de la potencia en el obrar, debemos remitirnos al "escolio" o el "corolario" de una proposición previa. Por coincidir en el estilo del lenguaje, coincide incluso en la coletilla que cierra a las demostraciones Q. E. D. (Quod Erat Demostrandum), algo que yo suelo repetir en las clases: "Y esto era lo que se quería demostrar".
Traigo a razón esta extraña semejanza, a saber, porque es evidente que Spinoza tomó la geometría euclidiana como modelo de organización del discurso filosófico de la ética. Intentó tejer una TRAMA DE DEMOSTRACIÓN muy similar a la empleada en los Elementos. El bueno de Spinoza debió pensar que si al hablar de la tristeza quería llegar hasta alguna verdad, y no sólo quedarse en mera palabrería, entonces tenía que hacer que todas las palabras, que todos los conceptos, y que todas las relaciones entre unas cosas y otras tuvieran un rigor similar. La ética tenía que ser un máquina llena de poleas y engranajes, bielas y mecanismos diversos, en el que todas las piezas encajaran perfectamente y funcionaran al unísono, o por lo menos que no chascaran aparatosamente o se quedaran paradas en cualquier momento.
Aunque esta intención pueda parecer inaudita, en verdad no lo era tanto, si sabemos que ya los filósofos escolásticos medievales, que siempre sintieron un gran atracción por las matemáticas, intentaron hacer algo muy parecido con la teología, es decir, fabricar formas de discurso "matemático" para demostrar la existencia de Dios u otras cosas que consideraban de vital importancia, como demostrar cuantos ángeles podían bailar en la punta de un alfiler (de verdad, véanse los problemas del Thaumaturgus mathematicus).
La geometría clásica, la de los griegos, en verdad no sólo fue la primera ciencia en un sentido estricto, sino también el modelo para las demás ciencias y formas de saber. Según parece, ni siquiera aquellas formas de saber que apenas se prestaban a trabajar con los conceptos de la matemática se resistieron finalmente a los encantamientos de ese método de demostración, viejo sin embargo, que tan embelesado dejaba a la gente cuando eran capaces de seguirlo. Muy pocos métodos conducían hasta una verdad incontestable y a menudo indestructible, aunque esas verdades fueran pequeñas o insignificantes.
Pero Spinoza no era un geómetra, y lo más interesante del asunto, al menos para nosotros, sería descubrir de dónde diantres sacó sus conocimientos de geometría. Deberíamos preguntarnos de dónde venía esa espartana y rigurosa actitud, también ante la Ética, y de dónde ese amor por la precisión y el orden geométrico. Pues la respuesta es sencilla: de sus gafas, tanto las de "ver de cerca" como las de "ver de lejos".
LAS GAFAS DE SPINOZA, Y EL TRASTERO DE A ÓPTICA.
Benito fue muchas cosas, pero entre ellas también fue un técnico o artesano que se dedicaba a fabricar lentes. Así se ganaba la vida, y ese era su oficio. Era judío, aunque sufriera muy temprano la excomunión. Sucede que el Talmud, el libro sagrado de los judíos, aconseja o prescribe que las tareas intelectuales siempre vayan acompañadas de algún arte u oficio MANUAL.
Digo esto, de paso, porque en las últimas semanas he tenido que defender mis asignaturas impartidas en secundaria (de marcada inclinación al trabajo manual, asignaturas artísticas) de toda sarta de prejuicios instalados entre alumnos y profesores por igual. A menudo la gente considera que el trabajo de las manos no es una forma de conocimiento, y que sólo el trabajo "de la mente" (se refieran a lo que se refieran, que ni siquiera parecen tenerlo claro) merece mayor dedicación y respeto. Hay una anécdota que me encanta revivir muchas veces. Según decía un biógrafo suyo, el jovencito Rudolf Hertz era un buen aprendiz en un taller de carpintería, al que iba por las tardes, después del colegio. Cuando se tuvo que ir a Berlín, habida cuenta de sus extraordinarias capacidades en el campo de la física, los padres de Hertz fueron a hablar con el maestro carpintero para avisarle de que no volvería esa tarde. El hombre escuchó a los padres con paciencia, y sólo al final exclamó que, si bien todo eso de las ondas electromagnéticas estaba muy bien, "era una lástima, porque Rudolf podría haber llegado a ser un gran carpintero". En fin, cada uno barre para su casa.
Ese prejuicio contra las manos es una tontería, y muestra más ignorancia que otra cosa. Sabemos que hasta hace dos días, y desde la antigüedad, muchos sabios ejerecieron o al menos aprendieron algún oficio, y en el caso de la filosofía, máxime, cuando muy rara vez se podían ganar la vida escribiendo libros de filosofía. Es interesante saber este dato para entender la filosofía de Benito, y aún más, para entender la relación de su filosofía con la geometría clásica. Las lentes son instrumentos ópticos, y la óptica, la ciencia de la luz, era una ciencia que había tenido sus primeros avances gracias a la aplicación de razonamientos geométricos. Ergo, Spinoza sabía de geometría lo suyo. Pero veamos primero lo que decían de Spinoza sus contemporáneos.
Su buen amigo Jarig Jelles escribió en el prefacio a la edición de su Opera póstuma de 1677:
"Aparte de la dedicación habitual a las ciencias, se ejercitó especialmente en la óptica y en pulimentar microscopios y telescopios, y demostró en ello tal pericia que, si la muerte no nos lo hubiera arrebatado, cabría haber esperado de él mayores logros". (Domínguez, 1995, pág. 46).
También Christiaan Huygens, el gran científico holandés del siglo XVII, en una carta afirmaba:
"Siempre me acuerdo de las lentes que el judío de Voorburg tenía en sus microscopios. Su pulimento era admirable, aunque no se extendía por todo el cristal". (Domínguez, 1995, pág. 193).
Leibniz, otro filósofo geómetra del que hablaremos llegado el momento, escribía a Spinoza para hablar de óptica:
Propongo un problema de óptica, y más específicamente, de reflexión de haces de luz sobre un espejo plano:
Un rayo de luz con dirección d y que parte del punto A se refleja en el espejo e1. Posteriormente se refleja en el espejo e2, cuya posición se desconoce. Finalmente ilumina el punto B. Calcular cómo debe estar colocado el espejo e2, sabiendo que ambos espejos se cortan en O. Indica la trayectoria que sigue el rayo de luz.
Se resuelve por SIMETRÍA.
En efecto, en el caso de los espejos planos, y sólo los planos, el punto de reflexión de un objeto se encuentra por detrás del espejo y a la misma distancia que dicho objeto mantiene con la superficie del espejo. Tal vez el viernes lo verifiquemos empíricamente en clase, con dos espejos planos y una linterna. Y eso que lleváis ganado, porque me acaba de confirmar Sara que en Física, hasta el año que viene, no vais a tocar un sólo espejo, lente, o linterna.
Ahora traigo aquí este problema, de paso, para hablar de otro "filósofo geómetra", Baruj Spinoza. Vamos a tomarnos la amable libertad, que no irrespetuosa, de llamarlo Benito, que era como se traducía su nombre en las ediciones antiguas españolas, Benito Espinosa.
Por lo pronto os pido un poco de paciencia, ya encontraremos poco a poco la relación de Spinoza, la filosofía ética, las lupas y los espejos y, por supuesto, la geometría.
LA ÉTICA EUCLIDIANA.
En la tradición de las distintos tratados de filosofía moral que se habían escrito desde Aristóteles y su Ética para Nicómaco, Spinoza escribió el suyo propio, una Ética, en torno a 1677, que llevaba el inaudito sobretítulo: ...demostrada según el orden geométrico.
Como estoy seguro que Juan ya ha discutido con vosotros el significado de esa palabra, ética, entendida vulgarmente como el campo de saber que estudia las buenas y malas acciones, estoy también seguro que os sorprenderá tan extraña carambola: ¿qué demonios tiene que ver la ética con la geometría?
Pues, veamos, comparemos, de un lado, una página del tratado de Spinoza, y de otro lado, una página de nuestro más querido libro, los Elementos de Euclides.
Suena extraño a nuestros oídos las palabras del propio Benito intentando demostrar que la tristeza disminuye la "potencia en el obrar" de los hombres, en proporciones geométricas, o que, para demostrar que tal disminución o aumento de la potencia en el obrar, debemos remitirnos al "escolio" o el "corolario" de una proposición previa. Por coincidir en el estilo del lenguaje, coincide incluso en la coletilla que cierra a las demostraciones Q. E. D. (Quod Erat Demostrandum), algo que yo suelo repetir en las clases: "Y esto era lo que se quería demostrar".
Traigo a razón esta extraña semejanza, a saber, porque es evidente que Spinoza tomó la geometría euclidiana como modelo de organización del discurso filosófico de la ética. Intentó tejer una TRAMA DE DEMOSTRACIÓN muy similar a la empleada en los Elementos. El bueno de Spinoza debió pensar que si al hablar de la tristeza quería llegar hasta alguna verdad, y no sólo quedarse en mera palabrería, entonces tenía que hacer que todas las palabras, que todos los conceptos, y que todas las relaciones entre unas cosas y otras tuvieran un rigor similar. La ética tenía que ser un máquina llena de poleas y engranajes, bielas y mecanismos diversos, en el que todas las piezas encajaran perfectamente y funcionaran al unísono, o por lo menos que no chascaran aparatosamente o se quedaran paradas en cualquier momento.
Aunque esta intención pueda parecer inaudita, en verdad no lo era tanto, si sabemos que ya los filósofos escolásticos medievales, que siempre sintieron un gran atracción por las matemáticas, intentaron hacer algo muy parecido con la teología, es decir, fabricar formas de discurso "matemático" para demostrar la existencia de Dios u otras cosas que consideraban de vital importancia, como demostrar cuantos ángeles podían bailar en la punta de un alfiler (de verdad, véanse los problemas del Thaumaturgus mathematicus).
La geometría clásica, la de los griegos, en verdad no sólo fue la primera ciencia en un sentido estricto, sino también el modelo para las demás ciencias y formas de saber. Según parece, ni siquiera aquellas formas de saber que apenas se prestaban a trabajar con los conceptos de la matemática se resistieron finalmente a los encantamientos de ese método de demostración, viejo sin embargo, que tan embelesado dejaba a la gente cuando eran capaces de seguirlo. Muy pocos métodos conducían hasta una verdad incontestable y a menudo indestructible, aunque esas verdades fueran pequeñas o insignificantes.
Pero Spinoza no era un geómetra, y lo más interesante del asunto, al menos para nosotros, sería descubrir de dónde diantres sacó sus conocimientos de geometría. Deberíamos preguntarnos de dónde venía esa espartana y rigurosa actitud, también ante la Ética, y de dónde ese amor por la precisión y el orden geométrico. Pues la respuesta es sencilla: de sus gafas, tanto las de "ver de cerca" como las de "ver de lejos".
LAS GAFAS DE SPINOZA, Y EL TRASTERO DE A ÓPTICA.
Benito fue muchas cosas, pero entre ellas también fue un técnico o artesano que se dedicaba a fabricar lentes. Así se ganaba la vida, y ese era su oficio. Era judío, aunque sufriera muy temprano la excomunión. Sucede que el Talmud, el libro sagrado de los judíos, aconseja o prescribe que las tareas intelectuales siempre vayan acompañadas de algún arte u oficio MANUAL.
Digo esto, de paso, porque en las últimas semanas he tenido que defender mis asignaturas impartidas en secundaria (de marcada inclinación al trabajo manual, asignaturas artísticas) de toda sarta de prejuicios instalados entre alumnos y profesores por igual. A menudo la gente considera que el trabajo de las manos no es una forma de conocimiento, y que sólo el trabajo "de la mente" (se refieran a lo que se refieran, que ni siquiera parecen tenerlo claro) merece mayor dedicación y respeto. Hay una anécdota que me encanta revivir muchas veces. Según decía un biógrafo suyo, el jovencito Rudolf Hertz era un buen aprendiz en un taller de carpintería, al que iba por las tardes, después del colegio. Cuando se tuvo que ir a Berlín, habida cuenta de sus extraordinarias capacidades en el campo de la física, los padres de Hertz fueron a hablar con el maestro carpintero para avisarle de que no volvería esa tarde. El hombre escuchó a los padres con paciencia, y sólo al final exclamó que, si bien todo eso de las ondas electromagnéticas estaba muy bien, "era una lástima, porque Rudolf podría haber llegado a ser un gran carpintero". En fin, cada uno barre para su casa.
Ese prejuicio contra las manos es una tontería, y muestra más ignorancia que otra cosa. Sabemos que hasta hace dos días, y desde la antigüedad, muchos sabios ejerecieron o al menos aprendieron algún oficio, y en el caso de la filosofía, máxime, cuando muy rara vez se podían ganar la vida escribiendo libros de filosofía. Es interesante saber este dato para entender la filosofía de Benito, y aún más, para entender la relación de su filosofía con la geometría clásica. Las lentes son instrumentos ópticos, y la óptica, la ciencia de la luz, era una ciencia que había tenido sus primeros avances gracias a la aplicación de razonamientos geométricos. Ergo, Spinoza sabía de geometría lo suyo. Pero veamos primero lo que decían de Spinoza sus contemporáneos.
Su buen amigo Jarig Jelles escribió en el prefacio a la edición de su Opera póstuma de 1677:
"Aparte de la dedicación habitual a las ciencias, se ejercitó especialmente en la óptica y en pulimentar microscopios y telescopios, y demostró en ello tal pericia que, si la muerte no nos lo hubiera arrebatado, cabría haber esperado de él mayores logros". (Domínguez, 1995, pág. 46).
También Christiaan Huygens, el gran científico holandés del siglo XVII, en una carta afirmaba:
"Siempre me acuerdo de las lentes que el judío de Voorburg tenía en sus microscopios. Su pulimento era admirable, aunque no se extendía por todo el cristal". (Domínguez, 1995, pág. 193).
Leibniz, otro filósofo geómetra del que hablaremos llegado el momento, escribía a Spinoza para hablar de óptica:
"Entre los demás elogios que le han dado fama, a buen seeguro está la extraordinaria pericia que usted tiene en
asuntos de óptica. Este es el motivo de que quisiera enviarle cualquier ensayo mío, ya que difícilmente encontraría mejor
revisor en este género de estudios". (Spinoza, 1988, págs. 294-295).
A su muerte se hizo el inventario de su taller. Además de su biblioteca y objetos personales, se encontraban también los instrumentos propios de su
oficio: un molino de pulir, catalejos,
incluso un telescopio, aunque inservible. Su trabajo como pulidor de lentes no sólo le dejaba tiempo para meditar. Sino que al pasar de una cosa a la otra constantemente, ambas tareas se entrelazaban. Sus intereses científicos en el ámbito de la
óptica, también servían para entrenarlo en las virtudes filosóficas de la paciencia y la
precisión.
Spinoza llegó a la geometría euclidiana por el trastero de su oficio, la óptica. La óptica, o la ciencia que estudiaba las propiedades de la luz y su comportamiento físico, era una ciencia en auge en la Europa septentrional en los siglos XVI y XVII. Kepler publicó en 1604 su Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica. Francesco Maria Grimaldi, en 1665, publicó su Physico-mathesis de lumine, coloribus et iride, 1665. Y el gran Christiaan Huygens, escribió su Traité de la lumière, en1690, tratado que se demostró a la postre mucho más agudo y genial que el posterior de Newton, Opticks, de 1704.
Pero ciertamente no era una ciencia novedosa, pues ya había tenido desarrollos muy importantes de antiguo, gracias a la geometría. Tanto que podríamos hablar de una "óptica geométrica", o de un método geométrico para la indagación de la luz. De hecho, el problema de Herón de Alejandría, que ya estudiamos en clases pasadas, originariamente era un problema sobre corpúsculos lumínicos. Y el mismo Euclides, según sabemos, escribió un tratado de óptica, que por desgracia desapareció con el tiempo. Lo interesante es que, todavía en tiempos de Spinoza, las demostraciones físicas en el campo de la óptica seguían apoyándose en el ANÁLISIS GEOMÉTRICO, y a menudo las demostraciones geométricas iban acompañadas de demostraciones por la vía sintética, es decir, con DIBUJOS. Sin ir más lejos, aquí tenemos un par de dibujos hechos por Spinoza sobre la refracción lumínica de algunas de sus lentes, y que están sacados de sus cartas.
Spinoza envió en una carta a su amigo Jarig Jelles, con fecha de 3 de marzo de 1667, en donde explicaba su preferencia por las esferas (el círculo), ante otras figuras como la elipse o la hipérbola, en la fabricación de lentes (contra Descartes, que prefería las lentes hiperbólicas). Y junto al dibujo escribía:
"Porque, como el círculo es el mismo por doquier, tiene por doquier las mismas propiedades. Si, por ejemplo, el círculo ABCD posee la propiedad de que todos los rayos paralelos al eje AB, que proceden de la parte A, se refractan sobre su superficie, de suerte que confluyan después todos ellos en el punto B, también todos los rayos paralelos al eje CD, que proceden de la parte C, se refractarán sobre la superficie, de forma que confluyan todos en el punto D. Esto no se puede afirmar de ninguna otra figura, aunque las hipérbolas y las elipses poseen infinitos diámetros" (Spinoza, 1988, pág. 262).
El oficio de Spinoza era un oficio de precisión y cálculo, y el instrumento esencial no eran los molinos y las máquinas para pulir (de hecho Spinoza, frente a Huygens, seguía considerando más perfecto el pulimento manual propio, su propia habilidad), sino la geometría. Era el saber hacer -esa bonita expresión de las artes y los oficios-, ese arte suyo que exigía paciencia y cuidado, método y precisión, lo que alimentaba también sus digresiones como filósofo en busca de orden y claridad. Spinoza entró en el mundo de la geometría por el trastero de la óptica, por los problemas de geometría aplicada o lo que se conoce como ÓPTICA GEOMÉTRICA.
En lo que sigue no vamos a exponer los principios básicos de la óptica geométrica, tan sólo problemas de reflexión de espejos planos, que son problemas de simetría, y alguno más. Pero os animo a preguntar a vuestros profesores de física, a indagar en ese maravilloso territorio de lentes, vasos de agua, espejos y hasta arcoíris.
Un problema de espejo plano.
La influencia del mundo de la óptica, de los telescopios, microscopios, lentes, espejos, y cámaras oscuras, no sólo tuvo alcance entre los filósofos como Spinoza. También lo tuvo entre los pintores. Arriba tenemos dos fragmentos de pinturas de Johanes Vermeer, pintor holandés que fue cohetáneo del mismo Spinoza (de hecho nacieron muy probablemente el mismo año), y de Huygens. Vermeer casi con toda seguridad utilizaba un instrumento óptico, la cámara oscura, para pintar sus cuadros. Y probablemente más de unos, pues también se sabe que usó un telescopio invertido. El próximo día os mostraré una cámara oscura original, pero descrita brevemente, se trata de un cajón de madera con una lente biconvexa sobre un orificio que permite proyectar en su interior la imagen invertida del exterior. Me imagino que ya conoceis este diagrama geométrico del funcionamiento de una cámara oscura. Si alguien tiene mucho interés en la relación de la óptica y la pintura holandesa del siglo XVII recomiendo un par de libros excelentes. El primero, y más importante, un verdadero clásico de una de mis historiadoras preferidas, El arte de describir. El arte holandés en el siglo XVII, de Svetlana Alpers. El otro, más reciente, pero de una lectura muy entretenida, de Laura J. Snyder, El ojo del espectador. Johannes Vermeer, Antoni van Leeuwenhoek, y la revindicación de la mirada.
Se ha dicho mucho sobre el uso de la tecnología óptica de la época por parte de los pintores, que usaban dicha tecnología como ayuda para pintar sus cuadros, o para comprender mejor lo que veían con sus propios ojos. Pero muy poco se ha dicho, en cambio, de las metarreferencias, de los guiños que esos pintores hacían para los espectadores de su época. Si éstos estaban tan embebidos en los estudios de óptica, a buen seguro detalles como los que aquí propongo no podían pasar desapercibidos. Muchos conocedores de las teorías ópticas de la época, incluso amigos de los científicos más avanzados, al mirar tales cuadros debían reflexionar minuciosamente sozbre la corrección óptico-geométrica de una reflexión en el espejo, deduciendo o imaginando así si el espejo era plano, su inclinación, y la procedencia de la luz. Al mirar el cuadro, a buen seguro se entretenían buscando trayectorias de la luz, que enigmáticamente se representaba en los cuadros con tal minuciosidad y exactitud. No era pues raro encontrar espejos en esos cuadros que de pronto se veían como rectángulos negros o amarillos, sin ninguna imagen sobre ellos. Y otros, cuyas inclinaciones sugerían bonitos juegos de reflexión simétrica. Ciertamente, este último caso me parece el detalle que podemos ver arriba. En el espejo se vislumbra maravillosamente una inclinación, pero también una trayectoria de la luz (la imagen) en la que nosotros participamos. Si el espejo no estuviera colocado tal como lo está, si la luz no incidiera sobre la muchacha como lo hace, y si nosotros mismos (o el ojo del pintor) no estuviera situado en el lugar preciso, en el espejo no veríamos nada, o cualquier otra cosa menos importante. Algo llega a nosotros, parte de la cara de la pianista, como de rebote, indirectamente, cual feliz encuentro con una realidad huidiza. Algo tan importante como el rostro de una persona, emana en la superficie como de carambola. Y sin embargo, es inevitable la sospecha de un cálculo y una meditación, una actitud casi geométrica. Para empezar, si el espejo es plano, como presumiblemente parece, se pueden imaginar reflexiones simétricas de los puntos de luz. Lo que vemos a través del espejo sabemos que proviene de una trayectoria simétrica. Los reflejos de un espejo puede que sean huidizos, pero el espejo nunca es un instrumento de azar, de otra manera de nada serviría poner espejos en el manillar de la bici. Y quien no se ha entretenido alguna vez en clase, a espaldas del profesor y para regocijo de sus compañeros, dirigiendo un haz de luz con la esfera de su reloj.
Vimos al principio de esta clase un problema de espejos planos. Sabemos ya que los espejos planos reflejan los haces de luz de manera simétrica. Veamos pues un segundo ejemplo del mismo problema con el que podemos practicar.
Spinoza llegó a la geometría euclidiana por el trastero de su oficio, la óptica. La óptica, o la ciencia que estudiaba las propiedades de la luz y su comportamiento físico, era una ciencia en auge en la Europa septentrional en los siglos XVI y XVII. Kepler publicó en 1604 su Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica. Francesco Maria Grimaldi, en 1665, publicó su Physico-mathesis de lumine, coloribus et iride, 1665. Y el gran Christiaan Huygens, escribió su Traité de la lumière, en1690, tratado que se demostró a la postre mucho más agudo y genial que el posterior de Newton, Opticks, de 1704.
Pero ciertamente no era una ciencia novedosa, pues ya había tenido desarrollos muy importantes de antiguo, gracias a la geometría. Tanto que podríamos hablar de una "óptica geométrica", o de un método geométrico para la indagación de la luz. De hecho, el problema de Herón de Alejandría, que ya estudiamos en clases pasadas, originariamente era un problema sobre corpúsculos lumínicos. Y el mismo Euclides, según sabemos, escribió un tratado de óptica, que por desgracia desapareció con el tiempo. Lo interesante es que, todavía en tiempos de Spinoza, las demostraciones físicas en el campo de la óptica seguían apoyándose en el ANÁLISIS GEOMÉTRICO, y a menudo las demostraciones geométricas iban acompañadas de demostraciones por la vía sintética, es decir, con DIBUJOS. Sin ir más lejos, aquí tenemos un par de dibujos hechos por Spinoza sobre la refracción lumínica de algunas de sus lentes, y que están sacados de sus cartas.
Spinoza envió en una carta a su amigo Jarig Jelles, con fecha de 3 de marzo de 1667, en donde explicaba su preferencia por las esferas (el círculo), ante otras figuras como la elipse o la hipérbola, en la fabricación de lentes (contra Descartes, que prefería las lentes hiperbólicas). Y junto al dibujo escribía:
"Porque, como el círculo es el mismo por doquier, tiene por doquier las mismas propiedades. Si, por ejemplo, el círculo ABCD posee la propiedad de que todos los rayos paralelos al eje AB, que proceden de la parte A, se refractan sobre su superficie, de suerte que confluyan después todos ellos en el punto B, también todos los rayos paralelos al eje CD, que proceden de la parte C, se refractarán sobre la superficie, de forma que confluyan todos en el punto D. Esto no se puede afirmar de ninguna otra figura, aunque las hipérbolas y las elipses poseen infinitos diámetros" (Spinoza, 1988, pág. 262).
El oficio de Spinoza era un oficio de precisión y cálculo, y el instrumento esencial no eran los molinos y las máquinas para pulir (de hecho Spinoza, frente a Huygens, seguía considerando más perfecto el pulimento manual propio, su propia habilidad), sino la geometría. Era el saber hacer -esa bonita expresión de las artes y los oficios-, ese arte suyo que exigía paciencia y cuidado, método y precisión, lo que alimentaba también sus digresiones como filósofo en busca de orden y claridad. Spinoza entró en el mundo de la geometría por el trastero de la óptica, por los problemas de geometría aplicada o lo que se conoce como ÓPTICA GEOMÉTRICA.
En lo que sigue no vamos a exponer los principios básicos de la óptica geométrica, tan sólo problemas de reflexión de espejos planos, que son problemas de simetría, y alguno más. Pero os animo a preguntar a vuestros profesores de física, a indagar en ese maravilloso territorio de lentes, vasos de agua, espejos y hasta arcoíris.
Un problema de espejo plano.
La influencia del mundo de la óptica, de los telescopios, microscopios, lentes, espejos, y cámaras oscuras, no sólo tuvo alcance entre los filósofos como Spinoza. También lo tuvo entre los pintores. Arriba tenemos dos fragmentos de pinturas de Johanes Vermeer, pintor holandés que fue cohetáneo del mismo Spinoza (de hecho nacieron muy probablemente el mismo año), y de Huygens. Vermeer casi con toda seguridad utilizaba un instrumento óptico, la cámara oscura, para pintar sus cuadros. Y probablemente más de unos, pues también se sabe que usó un telescopio invertido. El próximo día os mostraré una cámara oscura original, pero descrita brevemente, se trata de un cajón de madera con una lente biconvexa sobre un orificio que permite proyectar en su interior la imagen invertida del exterior. Me imagino que ya conoceis este diagrama geométrico del funcionamiento de una cámara oscura. Si alguien tiene mucho interés en la relación de la óptica y la pintura holandesa del siglo XVII recomiendo un par de libros excelentes. El primero, y más importante, un verdadero clásico de una de mis historiadoras preferidas, El arte de describir. El arte holandés en el siglo XVII, de Svetlana Alpers. El otro, más reciente, pero de una lectura muy entretenida, de Laura J. Snyder, El ojo del espectador. Johannes Vermeer, Antoni van Leeuwenhoek, y la revindicación de la mirada.
Se ha dicho mucho sobre el uso de la tecnología óptica de la época por parte de los pintores, que usaban dicha tecnología como ayuda para pintar sus cuadros, o para comprender mejor lo que veían con sus propios ojos. Pero muy poco se ha dicho, en cambio, de las metarreferencias, de los guiños que esos pintores hacían para los espectadores de su época. Si éstos estaban tan embebidos en los estudios de óptica, a buen seguro detalles como los que aquí propongo no podían pasar desapercibidos. Muchos conocedores de las teorías ópticas de la época, incluso amigos de los científicos más avanzados, al mirar tales cuadros debían reflexionar minuciosamente sozbre la corrección óptico-geométrica de una reflexión en el espejo, deduciendo o imaginando así si el espejo era plano, su inclinación, y la procedencia de la luz. Al mirar el cuadro, a buen seguro se entretenían buscando trayectorias de la luz, que enigmáticamente se representaba en los cuadros con tal minuciosidad y exactitud. No era pues raro encontrar espejos en esos cuadros que de pronto se veían como rectángulos negros o amarillos, sin ninguna imagen sobre ellos. Y otros, cuyas inclinaciones sugerían bonitos juegos de reflexión simétrica. Ciertamente, este último caso me parece el detalle que podemos ver arriba. En el espejo se vislumbra maravillosamente una inclinación, pero también una trayectoria de la luz (la imagen) en la que nosotros participamos. Si el espejo no estuviera colocado tal como lo está, si la luz no incidiera sobre la muchacha como lo hace, y si nosotros mismos (o el ojo del pintor) no estuviera situado en el lugar preciso, en el espejo no veríamos nada, o cualquier otra cosa menos importante. Algo llega a nosotros, parte de la cara de la pianista, como de rebote, indirectamente, cual feliz encuentro con una realidad huidiza. Algo tan importante como el rostro de una persona, emana en la superficie como de carambola. Y sin embargo, es inevitable la sospecha de un cálculo y una meditación, una actitud casi geométrica. Para empezar, si el espejo es plano, como presumiblemente parece, se pueden imaginar reflexiones simétricas de los puntos de luz. Lo que vemos a través del espejo sabemos que proviene de una trayectoria simétrica. Los reflejos de un espejo puede que sean huidizos, pero el espejo nunca es un instrumento de azar, de otra manera de nada serviría poner espejos en el manillar de la bici. Y quien no se ha entretenido alguna vez en clase, a espaldas del profesor y para regocijo de sus compañeros, dirigiendo un haz de luz con la esfera de su reloj.
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| El enano tenista de Descartes, cuyo espejo proporciona un ejemplo del problema de Herón. |
Vimos al principio de esta clase un problema de espejos planos. Sabemos ya que los espejos planos reflejan los haces de luz de manera simétrica. Veamos pues un segundo ejemplo del mismo problema con el que podemos practicar.
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