Transformaciones geométricas, III. Equivalencias.

Una broma del gran Jack Ziegler, el viejo maestro
de The New Yorker.

Vamos con el último arreón. Dentro de las transformaciones geométricas teníamos la familia de las transformaciones ANAMÓRFICAS. El prefijo ana- significa "contrario". Por lo que hablamos de una relación de figuras que no son iguales (isometría) , y en verdad tampoco semejantes (isomórficas). Es el caso de las figuras que son EQUIVALENTES en su área. Por ejemplo, un cuadrado y un triángulo, que no se parecen en nada a simple vista, pero ocupan el mismo área. En la geometría euclidiana hay proposiciones y demostraciones que permiten jugar con estas transformaciones de unos polígonos en otros, eso sí, conservando su área.

Una proposición muy útil del libro I de Euclides, es la 37, que dice que "los triángulos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales entre sí". Aunque en verdad las proposiciones 41, 42, 43 y sucesivas del mismo libro, tratan sobre las equivalencias de polígonos, derivando desde esta primera proposición de las paralelas. Son, por cierto, proposiciones muy interesantes que podéis tomar para vuestro trabajo de investigación. Vamos a lo que toca. La demostración de la proposición 37 queda establecida en este trazado de Geogebra y en Mongge. Equivalencia 1.




Si pensamos en la geometría que ya conocemos de la asignatura de Matemáticas, no es muy difícil relacionar aquellas formulitas que nos hacían memorizar para calcular el área de los polígonos. En este caso decíamos de carrerilla: el área de un triángulo es igual a la base por la altura partido por dos. Pues bien, la base del triángulo se conserva, en efecto, y también lo hace la altura, delimitada por ambas paralelas.

Ciertamente es útil, por cuanto podemos tomar un polígono de más lados, como un pentágono, y transformarlo en un triángulo de mismo área. Equivalencia 2.

Hay también una correlación clara entre las fórmulas algebraicas y los procedimientos que empleamos para dibujar figuras equivalentes. A continuación pongo un conjunto de casos de equivalencias entre triángulos y cuadriláteros, circunferencias y cuadriláteros, etcétera.

Equivalencia 3. 
Equivalencia 4.
Equivalencia 5.
Equivalencia 6.
Equivalencia 7.
Equivalencia 8.
Equivalencia 9.
Equivalencia 10.
Equivalencia 11.
Equivalencia 12.
Equivalencia 13.