Los filósofos y la geometría euclidiana, parte III. Geometría del esclavo de Menón.

Arriba, la excavación arqueológica en Delos. La herencia
helenística en nuestra cultura es crucial. Las artes y las
ciencias se vieron muy influidas durante siglos por
lo que hicieran los griegos. Pero, sobre todo, la
geometría supuso un primer pilar en la búsqueda
dealgunas verdades, sin la necesidad de inventar
mitos y rescatar creencias antiguas.

Los escritos de Platón fueron muy apreciados
en el Medioevo.  Arriba, un dibujo del s. XI
que ilustra el pasaje del Menón, Vienna, Nationalbibliothek,
Suppl. graec. 7, fol. 418r.

Sabido es que Platón concedió a las matemáticas y la geometría un papel privilegiado en la educación de los griegos.  Elías, en su “Comentario a las Categorías", decía que en el entablamento de la puerta que daba a la escuela de Platón, rezaba la siguiente advertencia:

"Aquí no entre nadie que no conozca la geometria (ageométretos médeis eisíto)".

Esta vez traigo un conocidísimo pasaje de uno de los diálogos de Platón, el Menón, en el que Sócrates hace que un esclavo aprenda "por sí solo" a duplicar el área de un cuadrado.

Es un ejercicio de geometría cuanto menos interesante, por cuanto sabemos que precisamente el primero de los números irracionales, la raíz de dos, surgía al operar con la diagonal del cuadrado.


EL ESCLAVO DE MENÓN.


MENÓN. - Pero ¿cómo dices que no aprendemos sino que lo que llamamos aprendizaje es un recuerdo? ¿Puedes enseñarme que esto es así?

SÓCRATES.- Hace un momento te dije, Menón, que eres astuto, y ahora me preguntas si puedo enseñarte, yo que digo que no hay enseñanza sino recuerdo, para que al punto me muestre contradiciéndome conmigo mismo.

MENÓN -No, por Zeus, Sócrates, no lo he dicho con esa intención, sino por hábito. Pero si de alguna forma puedes mostrarme que es como dices, muéstramelo.

SOCRÁTES - No es fácil; sin embargo, estoy dispuesto a hacer un esfuerzo por ti. Haz venir a uno de esos numerosos esclavos tuyos, a cualquiera, para que te lo muestre en él.

MENÓN. - Muy bien. Tú, ven aquí.

SÓCRATES. - ¿ Es griego y habla griego?

MENÓN.- Perfectamente, ha nacido en casa.

SÓCRATES. - Presta atención a qué es lo que te parece, si recuerda o si aprende de mí.

MENÓN.- Lo haré.

SÓCRATES.- Dime muchacho, sabes que el cuadrado es una figura así.

ESCLAVO.- Sí.

SÓCRATES.- Así, pues, ¿un cuadrado es una figura que tiene iguales todas estas líneas, en número de cuatro?

ESCLAVO.- Desde luego.

SÓCRATES.- ¿Y no· son también iguales éstas que pasan por el centro?

ESCLAVO. - Sí.

SÓCRATES.- ¿No es verdad que una figura así puede ser mayor y menor?

ESCLAVO. - Ciertamente.

SÓCRATES - Así pues si este lado tuviera dos pies y éste dos, ¿cuántos pies tendría todo él entero? Míralo de esta forma: si por aquí tuviera dos pies y por allí sólo un pie, ¿no tendría

la figura una vez dos pies?

ESCLAVO. - Sí.

SÓCRATES - Pero puesto que tiene también por allí dos pies, ¿no resultan dos veces dos?

ESCLAVO. - Así es.

SÓCRATES. - ¿Entonces resultan dos veces dos pies?

ESCLAVO. - Sí.

SÓCRATES - ¿Cuánto son dos veces dos pies? Dímelo después de calcularlo.

ESCLAVO.-.Cuatro, Sócrates.

SÓCRATES - Dime tú. ¿No tenemos esta figura de cuatro pies? ¿Comprendes?

ESCLAVO.- Sí.

Sócrates.- ¿Y podríamos añadirle esta otra igual a ella?

ESCLAVO.- Sí

SÓCRATES - ¿También esta tercera igual a cada una de estas dos?

ESCLAVO.- Sí.

SÓCRATES.- ¿No podríamos completar ésta que está en el ángulo?

ESCLAVO.- Perfectamente.

SÓCRATES.- ¿Entonces resultarían estas cuatro figuras iguales?

ESCLAVO - Sí.

SÓCRATES.- ¿Qué sucede entonces? Todo este conjunto, ¿cuántas veces es mayor que éste?

ESCLAVO.-.Cuatro veces.

SÓCRATES. - Esta línea que va de ángulo a ángulo (10) ¿no corta a cada una de estas figuras en dos?

ESCLAVO - Sí.

SÓCRATES.- ¿No resultan iguales estas cuatro líneas (11) que delimitan esta figura?(12)

ESCLAVO - Sí que resultan.

SÓCRATES.- Mira ahora:¿de qué tamaño es esta figura?(13)

ESCLAVO - No lo sé.

SÓCRATES - Siendo éstas cuatro (14), ¿no ha separado cada línea hacia dentro la mitad de cada cuadrado?(15) ¿O no?

ESCLAVO.- Sí.

SÓCRATES. -¿Cuántas mitades hay en ésta? (16)

ESCLAVO. - Cuatro.

SÓCRATES. - ¿Y cuántas en ésa?(17)

ESCLAVO. - Dos.

SÓCRATES. - ¿Pero qué es cuatro en relación a dos?

ESCLAVO. - El doble.

SÓCRATES. - Entonces, ¿ésta (18) ¿cuántos pies tiene?

ESCLAVO. - Ocho pies.

SÓCRATES - ¿A partir de qué línea?

ESCLAVO. - De ésta (19)

SÓCRATES. -¿De la que se extiende de ángulo a ángulo del cuadrado de cuatro pies?

ESCLAVO - Sí.

SÓCRATES - Los sofistas llaman a esta línea diagonal. Por lo tanto, si ésta se llama diagonal, a partir de la diagonal, como tú dices, esclavo de Menón, resulta el cuadrado doble.

ESCLAVO - Desde luego, Sócrates.

SÓCRATES.-¿Qué te parece, Menón? ¿Hay alguna opinión de las que ha contestado éste, que no sea suya propia?

MENÓN. - No, sino de él mismo.

SÓCRATES -Y realmente no sabía, como dijimos un poco antes.

MENÓN. - Dices la verdad.

SÓCRATES.- Estas opiniones estaban en él, ¿o no?

MENÓN. - Sí.

SÓCRATES.- ¿Entonces en el que no sabe, sea lo que sea que no sepa,hay opiniones verdaderas de lo que no sabe?

MENÓN. - Eso parece.

SÓCRATES. - Y ahora, como un sueño, esas opiniones se le han despertado hace un momento. Si se le sigue preguntando muchas veces estas mismas cosas y de muchas maneras, sabes que terminará por tener un conocimiento de ellas no menos exacto que ningún otro.

MENÓN. - Lo parece.

SÓCRATES - Sin que nadie le enseñe sino preguntándole ¿no llegará al conocimiento, recobrando él de sí mismo el conocimiento?

MENÓN. - Sí.

SÓCRATES. - ¿Y el recobrar él en sí mismo el conocimiento no es recordar?

MENÓN.- Desde luego.

SÓCRATES.- ¿Y no es verdad que el conocimiento que tiene ahora él, lo adquirió alguna vez o siempre lo tuvo?

MENÓN.- Sí.

SÓCRATES - Entonces si siempre lo tuvo, también ha sido siempre conocedor; y si lo ha adquirido alguna vez, no habrá sido en esta vida presente. ¿O le ha enseñado alguien geometría? Porque éste hará lo mismo con toda la geometría y con todas las otras ciencias. ¿Hay, pues, alguien que se lo ha enseñado todo? Tú debes saberlo de alguna forma, sobre todo porque ha nacido y se ha criado en tu casa.

MENÓN.- Pero yo sé que nadie jamás le ha enseñado.

SÓCRATES.- Pero tiene estas opiniones, ¿o no?

MENÓN.- Parece, Sócrates, que las tiene, necesariamente.

SÓCRATES.- Entonces si no las ha adquirido en la vida presente, ¿no es ya evidente que las tenía y las había aprendido en algún otro tiempo?

MENÓN. AI parecer.

SÓCRATES. ¿Este tiempo no será aquél en que aún no era hombre?

MENÓN. Sí.

SÓCRATES. Por consiguiente, si durante el tiempo que él es hombre y del tiempo en que no lo es, hay en él verdaderas opiniones que se hacen conocimientos cuando se las despierta con preguntas, ¿no es cierto que, en todo el transcurso de los tiempos, su alma ha sido sabia? Porque es claro que, durante dicha extensión de tiempo, es o no es hombre.

MENÓN. Eso es evidente.

SÓCRATES. –Luego, si la verdad de los objetos está siempre en nuestra alma, nuestra alma es inmortal. Por esta razón, es preciso intentar, con confianza, el indagar y traer a la memoria lo que no sabes por el momento, es decir, aquello de que tú no te acuerdas.

MENÓN. Yo no sé cómo, pero me parece que tienes razón, Sócrates.

SÓCRATES. Esto es lo que a mí se me ocurre también. A la verdad, yo no podré afirmar muy positivamente que todo lo demás que he dicho sea verdadero; pero estoy dispuesto a sostener, con palabras y con hechos, si soy capaz de ello, que la persuasión de que es preciso indagar lo que no se sabe, nos hará, sin comparación, mejores, más resueltos y menos perezosos, que si pensáramos que era imposible, descubrir lo que ignoramos, e inútil, buscarlo.

MENÓN. Eso me parece muy bien dicho, Sócrates.