Proyecciones 2. Homología afín o afinidad.

AFINIDAD. 

Explicamos en clase los conceptos de proyección y homología. Decíamos que la HOMOLOGÍA AFÍN o AFINIDAD es un tipo especial de homología cuyo centro de homología se sitúa en el infinito o,dicho de otra manera, es un punto impropio.

Los puntos transformados, ahora llamado afines, cumplen varias condiciones iniciales:

1) La recta que une dos puntos afines siempre es paralela a una dirección dada, la DIRECCIÓN DE AFINIDAD. Si la dirección de afinidad es perpendicular al eje, la afinidad se denomina ORTOGONAL. En
cualquier otro caso, se denomina OBLICUA. A efectos prácticos, la dirección de afinidad sustituye al centro de homología como elemento necesario para el dibujo.

2) Por otra parte, dos rectas afines se cortan en un punto de una recta fija llamada EJE DE AFINIDAD.

3) Existe una RAZÓN DE AFINIDAD.  Esa constante, expresada como  k,  relaciona las longitudes de los segmentos afines, y también los segmentos que unen los puntos afines
con el eje (siguiendo la dirección de la afinidad).


PROPIEDADES DE LA HOMOLOGÍA AFÍN. 

Debemos considerar en toda homología afín:

1. Los puntos que pertenecen al eje son puntos dobles de la afinidad.

2. Si dos rectas son paralelas entre sí, sus rectas afines son paralelas entre sí. Por lo tanto, en la homología afín un paralelogramo siempre se transforma en otro paralelogramo.

3. En una afinidad se conservan los puntos de tangencia. Si dos figuras son
tangentes, sus afines también lo son, y los puntos de tangencia respectivos también son
afines entre sí.

4. La figura afín de una circunferencia es una elipse. Y en general, la figura afín de una cónica
es otra cónica. Los centros de curvas cónicas afines también son afines entre sí.

ELEMENTOS NECESARIOS. 

Normalmente, como datos de la afinidad se nos proporcionará el eje, la dirección y una
pareja de puntos afines. Aunque también cabe la posibilidad de que nos den características
de forma o posición de las figuras inicial y final, y que a partir de ellas debamos
encontrar los elementos de la afinidad.

En los siguientes casos la afinidad queda determinada:

Caso 1. El eje y dos puntos afines.

Caso 2. Tres pares de puntos afines.

Caso 3. Dos pares de rectas afines.

Caso 4. Afinidad de un polígono (se aplican la afinidad a sus
vértices y aristas).

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE AFINIDAD. 

EJEMPLOS DE NIVEL PRIMERO. 


Es el problema más sencillo que se nos puede presentar. Afinidad 1.

La variante consistiría en determinar varios puntos afines, y de ese modo un polígono. Afinidad 2.

Los puntos de afinidad pueden caer a un mismo lado del eje. Afinidad 3.

En el siguiente caso, la afinidad de un hexágono regular, se prolongan las diagonales para determinar los puntos afines necesarios. Afinidad 4.

El siguiente caso no es una afinidad, es un caso de homología común. Pero recuerda que los vértices o lados del polígono también pueden pertenecer al eje, y en ese caso son vértices o puntos dobles, es decir, también serán vértices para el polígono afín. Homología 5. (OJO, EN ESTE CASO NO ES UNA AFINIDAD, HAY UN CENTRO DE HOMOLOGÍA).

Y aquí se cumple lo que hemos dicho anteriormente, pero ahora sí, en un caso de afinidad. Uno de los lados del triángulo, y por tanto dos de sus vértices, pertenecen al eje de homología. Esos puntos también serán vértices afines del polígono transformado. Afinidad 6.

Se puede dar el caso de que un polígono tenga uno de sus vértices contenidos en el eje, y además, quede dibujado en ambos lados del eje, como veremos en esta afinidad. Observa en esta afinidad que el eje no viene dado de manera explícita, sino que debemos obtenerlo. Afinidad 7.

En el siguiente caso, además, se pide aplicar una razón de afinidad. Afinidad 8.

Este último caso puede resultar muy útil a nivel práctico cuando la orientación de un polígono con respecto al eje es tal que las prolongaciones de los lados no llegan a cortar al eje dentro de los límites de nuestra hoja de papel. Consiste en hallar otros puntos afines que no sean los vértices del polígono, y que sean útiles. Veamos cómo se hace. Afinidad 9.


EJEMPLOS DE NIVEL SEGUNDO. 

En clase nos concentramos en una serie de problemas que nos obligaban a determinar ángulos usando arcos capaces, algo que intuyó con mucha perspicacia Adrían ("¡la solución a todos nuestros problemas es un arco capaz!", dijeron en broma Aitor y Sem). Me refiero a algunos de los ejercicios de la fotocopia.

Enlazaré aquí sólo los casos vistos hasta ahora. Aunque después del examen seguiremos viendo algunos más.

Afinidad 1.
Afinidad 2.
Afinidad 3.
Afinidad 4.

Los siguientes ejercicios de las fotocopias no se han visto en clase aún, y quedarían excluidos de la prueba de evaluación próxima. Pero aún así, echad un vistazo e intentad entenderlos por vuestra cuenta, porque os pueden ayudar a dominar definitivamente el uso del arco capaz en los problemas de afinidad.

Afinidad 5. (ÉSTE NO SE HA VISTO EN CLASE).
Afinidad 6. (ÉSTE NO SE HA VISTO EN CLASE).


EJEMPLOS CON CIRCUNFERENCIAS Y ELIPSES. 

Afinidad 1. (SE VERÁ EN LA PRÓXIMA CLASE, ES SENCILLO).