GEOMETRÍA PLANA

HOMOLOGÍA

JUNIO 29, 2014

DEFINICIÓN

Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponden un punto y una recta de la otra. Dos secciones de una misma radiación son homológicas si se cumple que:

1. Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
2. Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.

TIPOS DE HOMOLOGÍA

Existen 2 tipos de Homología:

• Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
• Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.

DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA

Una homología queda determinada dando:

A) El centro, el eje y un par de puntos homólogos

B) El centro, el eje y un par de rectas homólogas

C) Tres puntos no alineados y sus homólogos. Los puntos homólogos estarán alineados con el centro de homología y las rectas homólogas que los unen se cortarán en el eje de homología.

EL EJEMPLO MÁS SENCILLO

Pongamos el caso A anterior. Dados un par de puntos homólogos A-A’, un Eje de Homología, un Centro de Homología V y el punto B, se pide: Determinar el punto homólogo del B dado.Según la definición que he dado más arriba, “los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología”. Por tanto, el punto homólogo de B debe estar en la recta que une el centro V con B. Y atendiendo a la segunda parte de la definición “Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología”, la recta A-B debe cortarse con su homóloga en el Eje de Homología.

Así que unimos A con B y prolongamos hasta el Eje. Desde ahí unimos con A’ y sabemos que en esa recta va a estar B’. La intersección de las dos rectas anteriores determina la posición del punto B’ homólogo de B.Por suerte, la homología no es mucho más complicada que esto. Está definida por unos puntos homólogos, un centro de homología y un eje. En los enunciados quitarán alguno de estos elementos para que lo deduzcamos a partir de los otros, pero en esencia es esto. Si por ejemplo en este ejercicio anterior, tuviéramos que obtener el punto homólogo de uno C dado, podemos utilizar tanto el punto A como el B de referencia, puesto que de ellos ya conocemos sus homólogos. Seguimos ambos caminos:

• Opción 1: unir C con el vértice V. Después unir A con C, prolongar la recta hasta el Eje y desde ahí unirla con A’. Obtendríamos así C’.
• Opción 2: unir C con el vértice V. Después unir B con C, prolongar la recta hasta el Eje y desde ahí unirla con B’. Obtendríamos así C’.

Es como un juego, puedes ir por un camino o por otro.

DOS CARACTERÍSTICAS MUY ÚTILES DE LA HOMOLOGÍA

Paso ahora a recordarte tres características que vimos en la Afinidad que también se cumplen para la homología y que nos serán de la máxima utilidad a la hora de resolver problemas. En realidad, la Afinidad no es más que un caso particular de la Homología.

1. Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su homólogo en sí mismo. Son puntos dobles.
2. Cuando una recta sea paralela al Eje, su recta homóloga también será paralela al Eje. Esto es lo mismo que decir que el punto de corte de dichas rectas homólogas se encuentra en el infinito

RECTAS LÍMITES DE UNA HOMOLOGÍA

Recta Límite es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son siempre paralelas al Eje de Homología. El conocimiento de una recta límite equivale al de dos rectas homólogas. Por tanto, una homología queda definida dando el centro, el eje y una recta límite.

CÓMO OBTENER LAS RECTAS LÍMITE DE UNA HOMOLOGÍA

Las Rectas Límite se obtienen de igual manera, tanto para Homología Directa como para Homología Inversa, pero la posición de dichas Rectas Límite varía.

Veámoslo.

Dada una homología, por ejemplo, por un centro V, un eje E y un par de puntos homólogos A-A’ tomaremos un punto aleatorio 1=1’ contenido en el Eje y lo uniremos con el punto A y con su homólogo A’. Esto nos da dos rectas homólogas r y r’.

Trazaremos ahora dos rectas que pasen por el centro V:

• Una recta paralela a r, que cortará a r’ y definirá la posición de RL’.
• Otra recta paralela a r’, que cortará a r y definirá la posición de RL.

Como puedes comprobar en el dibujo, en ambos casos se sigue el mismo procedimiento. En cambio la posición varía.

• En una Homología Directa, las Rectas Límite se encuentran entre el Centro y el Eje.
• En una Homología Inversa, las Rectas Límite se encuentran fuera de la zona entre Centro y Eje.

En ambos casos, la distancia (d) desde el centro V a una Recta Límite es igual que la distancia desde el Eje a la otra Recta Límite.

EJERCICIO CON RECTAS LÍMITE

Como he dicho anteriormente una homología puede venir definida por el centro, el eje y una recta límite. Se pide obtener el triángulo homólogo de A’B’C’.

• En primer lugar, puesto que se trata de una homología, uno el centro V con cada punto del triángulo.
• Prolongo la recta A’-C’ hasta los puntos de corte 1 y 2 con la recta límite y el eje respectivamente. Trazo una recta paralela a V-1 desde 2 y ahí quedan determinados los puntos A y C homólogos respectivamente de A’ y C’.
• Para obtener el punto homólogo de B’ puedo unirlo con C’, prolongarlo hasta el eje y desde ahí unirlo con C, tal como hemos hecho en el ejercicio anterior.

LA CIRCUNFERENCIA EN HOMOLOGÍA

Consideremos el caso de que nos dan una homología definida por el Eje de Homología, el Centro Homología y un par de puntos homólogos, en este caso el centro de la circunferencia y su homólogo.

El método más sencillo para dibujar la figura homóloga de la circunferencia es dividiendo la circunferencia en 8 partes iguales, utilizando un diámetro paralelo al eje de homología, otro perpendicular y los dos últimos formando 45º.

El diámetro 1-5, puesto que es paralelo al eje, también lo será su homólogo desde el punto O’. Al encontrar el diámetro homólogo de 4-8, mediante paralelas al eje también podemos encontrar los puntos 2’ y 6’. Por último, encontrar el homólogo de 3-7.

Existen otras formas para encontrar ejes conjugados, el centro de la elipse, etc., pero por lo general, para el nivel de 2º de Bachillerato no serán necesarios.

PROBLEMA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Dados el segmento AB, su homólogo A’B’ y el punto doble P=P’ todos en el plano del dibujo, se pide:

a)      Determinar el eje de la homología que definen

b)      Determinar el centro de la homología que definen

c)      Determinar la figura homóloga de un triángulo equilátero de lado AB

Bueno, esto es sencillo, ¿no?

APARTADO 1

Retomamos la segunda definición que vimos al principio del artículo: “Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología”. ¿Qué significa eso? Que si los segmentos AB y A’B’ son homólogos, sus rectas se cortarán en el Eje de Homología. Y de las 3 características que te he definido en el apartado anterior, retomamos la primera: “Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su afín en sí mismo. Son puntos dobles”. Por tanto, si nos han dado un punto doble P=P’, podemos deducir que pertenece al Eje. ¡Así que ya podemos trazar el Eje de Homología!

APARTADO 2

Para obtener el centro de homología te recuerdo la primera definición que hemos visto: “Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología”. Eso quiere decir que el Centro de Homología se encontrará sobre la recta que une los puntos homólogos A-A’. Y a su vez, también sobre la recta que une los puntos homólogos B-B’. El punto en que se cortan ambas rectas es el Centro de la Homología.

APARTADO 3

Este apartado casi resulta aburrido de lo sencillo que es. Sin embargo me encanta, porque es como un juego, un divertido baile de líneas. El triángulo equilátero se obtiene con 2 arcos de circunferencia de radio A-B con centros primero en A y luego en B. Eso nos dará C. Para obtener el punto homólogo de C, podemos usar el camino que queramos, bien uniéndolo con A, bien con B. En este caso te recomiendo que utilices B porque, al tener una distancia mayor con respecto al Eje, será más preciso el dibujo. Como ves, es un juego sencillo y divertido. Conociendo las reglas, nos pueden poner el ejercicio que quieran, porque sabremos resolverlo.

RESUMEN

Te resumo a continuación los 5 puntos imprescindibles que hemos visto:

1. Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
2. Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.
3. Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su homólogo en sí mismo. Son puntos dobles.
4. Cuando una recta sea paralela al Eje, su recta homóloga también será paralela al Eje.
5. Con circunferencias, dividirlas en 8 partes iguales, utilizando para ello un diámetro paralelo al Eje de Homología, otro perpendicular y dos que formen 45º.