Los filósofos y la geometría euclidiana, parte IV. El punto de Valéry y el punto de Tullio Levi-Civita.

Retrato de Paul Valéry realizado por Cartier-Bresson.

"Pienso que la búsqueda incesante de las definiciones fundamentales, la vuelta de tuerca de las matemáticas, es algo fecundo", le decía Paul Valéry al matemático italiano Tullio Levi-Civita, en una carta de 1934, y antes de meterse en camisas de once varas. Pues a continuación le ofrecía una definición del punto.

¿Qué diantres es el punto? En esta pregunta me hace reparar la matemática Rossana Tazzioli. Lo pregunto porque ya hemos sospechado muchas veces, en mitad de clase, que hay una discrepancia entre los puntos que podemos dibujar, y los puntos que podemos pensar. Se habla del punto, se define el punto, y a la hora de la verdad ni siquiera sabemos qué tamaño exacto tiene un punto bien dibujado.

Definir el punto... 


La definición más simple de la geometría elemental debería ser la del punto. Pero no lo es. Ya en la escuela primaria dibujábamos con un bolígrafo sobre un papel o con una tiza sobre la pizarra un punto, y el maestro, ávido de definiciones, nos hacía creer que si dibujo un punto, y luego otro a su lado, y luego otro a su lado, y luego otro a su lado, y luego otro a su lado, y luego otro a su lado, obtenemos una recta.

Pero esto era una maravillosa demostración dibujada para una muy dudosa definición técnica. Aristóteles mismamente ya mostraba que esa definición de la recta como una sucesión infinita de puntos (que él llamaba "continuo") iba desbocada, desaforada y directamente hacia una contradicción:

Si algo es continuo no puede estar formado por indivisibles, o lo que es lo mismo, si algo es continuo no puede estar compuesto de partes. Porque si está compuesto de partes, por muy unidas que estén, ya no es continuo. Muchos puntos juntos no hacen una línea. Sólo hacen un conjunto de puntos.


Aristóteles, por tanto, decía lo siguiente:

-"Continuo" es aquello cuyas extremidades son una misma cosa.
-"Contacto" o "Tangencia" se produce cuando las extremidades de dos cosas están juntas o se tocan.

Y así sucesivamente iba ampliando las definiciones para hacer ver que no puede haber algo continuo formado por puntos. Aristóteles desarrollaba "un punto de vista topológico acerca de la recta", como ha dicho Rossana Tazzioli.

Si esto es así, el punto no puede tener  ninguna dimensión, pues "carece de partes".

Y en efecto, Euclides, que sabía en lo que se andaba, ya al principio de los Elementos se refiere así al punto. Lo que no tiene ni ancho, ni largo, ni altura, ni parte, ni nada de nada. Dios mío, qué jaleo...

Pero entonces ¿qué es un punto?

Hace falta, parece, liberarse de la intuición, del bolígrafo y de la tiza para definirlo. Mientras tanto sí que tenemos la definición que Valéry envió a Tullio, y que dice así:

"He reflexionado de nuevo muy largamente acerca de este pequeño objeto, que esencialmente no tiene nada de 'pequeño'. Me había hecho una 'definición' que no hacía intervenir la pequeñez, y que no tendré la imprudencia (ni el coraje) de enunciar".

Por otra parte, sí conocemos la definición de punto que enunció Tullio, y que cambiaba un tanto el punto de vista. El punto como un elemento móvil, un meteoro o motor que va dejando una estela tras de sí. Para desarrollar la idea de 'punto' como elemento generador, Levi-Civita moviliza otros conceptos, a veces complicados, como la noción de "tiempo".

"Entre nuestras representaciones mentales más simples, está la imagen del movimiento de un punto geométrico. Esta imagen es una abstracción, a la cual se llega a través de la lógica pura introduciendo los postulados geométricos usuales y el concepto primitivo de tiempo".

Tullio consideraba, pues, que los puntos preexisten, están antes que nada, mientras que las líneas son consecuencia, son engendradas. En un bonito poema de Guillevic, el punto mismo habla:


Je ne suis que le fruit peut-être
De deux lignes qui se rencontrent.

Je n’ai rien.

On dit : partir du point,
Y arriver.

Je n’en sais rien.

Mais qui
M’effacera ?


Para concluir, Tazzoli nos trae otro poema de Robert Desnos. Este último, en un poema escrito para Daniel, el hijo del compositor Darius Milhaud. Pongo en este caso la traducción al castellano.



Por un punto situado sobre un plano

No se puede hacer pasar sino una perpendicular a ese plano.

Se dice eso...

Pero por todos los puntos de mi propio plano

Se puede hacer pasar a todos los hombres, a todos los animales de la tierra

Así que su perpendicular me hace reír.

Y no solamente a los hombres y a las bestias

Sino incluso muchas cosas

  Piedras

Flores

Nubes

A mi padre y a mi madre

Un barco a velas

Un cañón de estufa

Y si me da la gana

Cuatrocientos millones de perpendiculares.


"La geometría de Daniel", 1939.


*Este texto es una reelaboración mínima de otro texto de R. Tazzioli, para "Las relaciones entre las matemáticas y la física teórica". Festschrift for the 40th anniversary of the IHES, Paris, 1998, p. 23-42.