Malfatti y el problema de los círculos que encajan en un triángulo.

El escultor C. Brancusi en su taller. La mayoría de escultores,
al tallar la madera o la piedra, materiales de por sí costosos,
siguen un principio de economía material. Los métodos de
talla parten de prismas geométricos, en cuyas caras
se dibujan alzados, plantas, y perfiles de tal manera que
se deseche el mínimo material posible al cortar.

Más de una vez he mencionado en clase que una de las tradiciones más prolíficas y hermosas de las matemáticas, y en lo que nos concierne a nosotros, la geometría dibujada, es la italiana. Hace unos días me reencontré con un viejo problema de Gian Francesco Malfatti. Éste se educó con los jesuitas, y fue catedrático de Matemáticas e Hidrostática de la Universidad de Ferrara en el siglo XVIII. El problema al que me refiero, que fue publicado en 1803 en la Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, podríamos plantearlo como sigue:

Si tenemos un prisma, como los que usamos en clase, mismamente de madera, y de él quisiéramos sacar tres cilindros aprovechando el máximo de su material, tendríamos que dibujar tres circunferencias que ocuparan el mayor área posible en una de sus plantas.

Era un problema de estereotomía, o lo que es lo mismo, la técnica de cortar la piedra y la madera. Lo curioso es que Malfatti planteó una hipótesis que reconvertía el problema técnico en un problema geométrico de tangencias. Dio por hecho que las circunferencias tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo serían las que mayor área aprovecharían. Su hipótesis se demostró equivocada con el tiempo, pues las circunferencias, según la particularidad del triángulo, no siempre tenían que ser tangentes.Y aun así, los "círculos de Malfatti", es un problema valioso y digno de considerar en el ámbito de las tangencias y la geometría del triángulo:

Dado un triángulo, construir tres círculos dentro del mismo tal que cada uno de los círculos sea tangente (es decir, se toquen en un punto) a los otros dos y a dos lados del triángulo.

Conviene saber que Malfatti, en primera instancia, resolvió el problema utilizando los métodos de geometría analítica. Pero en la época era una condición muy común la de buscar la solución dibujada, como habían hecho los griegos, a los problemas geométricos. En 1826 el matemático alemán Jakob Steiner publicó una hermosa solución haciendo uso de la geometría sintética.

1. Hallamos el incentro del triángulo.
2. Se halla  de nuevo el incentro de los triángulos menores.
3. Se unen los incentros anteriores, formando un triángulo cuyos lados se cortan con las
bisectrices en los puntos D, E, F.
4. Desde los puntos anteriores se traza una perpendicular al lado que los contiene.
5. Se utiliza esa perpendicular como eje de simetría para hallar la recta simétrica de
la bisectriz que pasa por los puntos respectivamente.
6. Las rectas simétricas dividen el interior del triángulo en cuatro trapezoides.
7. Inscribimos las circunferencias en los cuadriláteros, y serán tangentes entre sí.